Infinito e Sem Fim - Uma resposta ao Argumento Cosmológico Kalam

Autor: Alex Malpass e Wesley Morriston

Tradução: David Ribeiro

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Resumo

Costuma-se dizer que o tempo deve ter um começo porque, de outra forma, a série de eventos passados ​​teria as características paradoxais de um infinito real. No presente artigo, mostramos que, mesmo dada uma teoria dinâmica do tempo, a cardinalidade de uma série infinita de eventos, cada um dos quais ocorrerá, é a mesma que a de uma série sem começo de eventos, cada um dos quais ocorreu. Ambos são infinitamente denumeráveis. Então, se (como acreditamos) uma série infinita de eventos é possível, então a possibilidade de uma série sem começo de eventos passados ​​não deve ser rejeitada apenas com base no fato de que seria um infinito real. O que seria necessário para refutar nosso argumento é um quebrador de simetria — algo que motiva tratar o passado de forma relevantemente diferente do futuro. Consideramos várias tentativas de fornecer um quebrador de simetria e mostramos que nenhuma delas é bem-sucedida.

I. INTRODUÇÃO

Os proponentes do argumento cosmológico Kalam buscam estabelecer que qualquer série temporalmente ordenada de eventos discretos deve ter um começo. Um de seus principais argumentos para essa conclusão é que uma série sem começo de eventos discretos teria as características paradoxais de um infinito real – características que não poderiam ser instanciadas ‘no mundo real’. Em particular, eles apontam que uma série realmente infinita tem uma propriedade distinta, que chamaremos de ‘Propriedade Cantoriana’. Uma série tem a Propriedade Cantoriana quando pode ser colocada em correspondência um-para-um com infinitamente muitas de suas partes próprias, de modo que o todo tem o ‘mesmo número’ de elementos que suas partes. Por exemplo, há tantos números naturais quantos números pares, etc. Mas no ‘mundo real’, eles dizem, o todo deve ser sempre maior do que qualquer uma de suas partes próprias. Então, no mundo real (ao contrário do mundo da matemática), uma série realmente infinita é impossível; nada real pode ter a Propriedade Cantoriana (Ver Craig & Sinclair 2009: 110). E isso é dito para estabelecer a primeira premissa do seguinte argumento:

1. Um infinito real não pode existir.

2. Uma regressão temporal infinita de eventos é um infinito real.

3. Portanto, uma regressão temporal infinita de eventos não pode existir. (Craig & Sinclair 2009: 103).

Agora, alguém poderia ter pensado que se essas considerações fossem suficientes para mostrar que uma série sem começo (e, portanto, infinita) de eventos passados ​​é impossível, elas se aplicariam com igual força a uma série infinita (e, portanto, infinita) de eventos futuros.¹ Afinal, alguém poderia fazer um argumento aparentemente simétrico como segue:

1. Um infinito real não pode existir.

2. Um progresso temporal infinito² de eventos é um infinito real.

3. Portanto, um progresso temporal infinito de eventos não pode existir.

Se esse segundo argumento fosse tão sólido quanto o original, isso seria uma má notícia para os proponentes do Kalam. Por um lado, é implausível afirmar que o futuro não poderia ser infinito. Por exemplo, pode-se facilmente imaginar uma série de eventos futuros, cada um dos quais é causalmente suficiente para outro. Novamente, pode-se imaginar uma série infinita de eventos, cada um dos quais é pré-ordenado por um Deus todo-poderoso. Até onde podemos ver, essas são possibilidades metafísicas genuínas.

Talvez mais importante, muitos proponentes contemporâneos do argumento Kalam acreditam na vida eterna, onde esta é concebida como uma sequência sem fim de experiências celestiais ou infernais, cada uma das quais ocorrerá. Então, se uma série infinita é infinita no mesmo sentido que uma sem começo, esses filósofos estão em um pequeno dilema. Qualquer um de seus principais argumentos para a impossibilidade de um passado infinito é infundado, ou um princípio importante de sua fé não é apenas falso, mas metafisicamente impossível. Para sair desse dilema, eles precisam inventar um "quebrador de simetria" - uma razão para pensar que "uma regressão temporal infinita de eventos é um infinito real" é verdadeira, mas que "um progresso temporal infinito de eventos é um infinito real" é falso.

A proposta mais comumente ouvida é que uma série infinita de eventos futuros difere de uma série sem começo de eventos passados ​​por ser um infinito meramente potencial, não tendo nenhuma das implicações absurdas do infinito real. É essa suposta diferença que particularmente nos interessa primeiro. É o caso de uma série sem começo ser um infinito real, enquanto uma série infinita seria apenas potencialmente infinita?

A resposta pode parecer depender da visão de tempo de alguém. Em uma visão "eternalista", não há diferença relevante entre eventos passados ​​e futuros. Cada um ocorre "atemporalmente" em sua posição em uma série temporalmente ordenada. Eventos "passados" são anteriores, e eventos "futuros" posteriores, do que qualquer tempo que seja tomado como ponto de referência. Se para cada evento discreto houver um anterior, então a série de eventos "passados" é um infinito real; da mesma forma, se para cada evento discreto houver um posterior, então a série de eventos "futuros" é um infinito real.

No entanto, os proponentes do argumento Kalam normalmente não são eternalistas. Eles sustentam que o tempo é irredutível e o vir a ser temporal é real - de modo que há um fato em constante mudança da questão sobre quais eventos estão presentes, e um fato igualmente objetivo sobre a direção do devir temporal. Em uma visão desse tipo, há uma diferença óbvia entre uma série sem começo de eventos passados ​​e uma série infinita de eventos futuros: o primeiro foi concluído, enquanto o último nunca terá sido concluído. A partir disso, muitos amigos do argumento Kalam concluem que o futuro é apenas potencialmente infinito. Assim, William Lane Craig diz:

"... quando dizemos que o número de eventos futuros é infinito, não queremos dizer que ℵ0 eventos decorrerão, pois isso é falso. Ironicamente, então, verifica-se que a série de eventos futuros não pode ser realmente infinita, independentemente da infinidade do passado ou da possibilidade metafísica de um infinito real, pois é a objetividade do devir temporal que torna o futuro potencialmente infinito apenas" (Craig & Sinclair 2009: 116, ênfase adicionada).

Não concordamos. Na Seção II, mostramos que o apelo de Craig ao infinito potencial envolve uma equivocação fatal entre o que será e o que terá sido. Uma vez que essa equivocação tenha sido exposta, ficará claro que, mesmo dada uma teoria dinâmica do tempo, uma série infinita de eventos distintos é um infinito contável.

Às vezes, no entanto, Craig oferece um quebrador de simetria diferente. Apelando para uma versão presentista da teoria A, ele afirma que o número de eventos futuros não pode ser infinito porque eventos futuros não existem ou, alternativamente, porque são meras "potencialidades". Nas Seções III e IV, mostramos que nenhuma dessas teses sobre eventos futuros dá a menor razão para pensar que uma série infinita deles não é denumeravelmente infinita. Na Seção V, descartamos uma preocupação terminológica sobre a expressão "infinito real" e, na Seção VI, nos voltamos para preocupações sobre operações aritméticas inversas em números transfinitos "no mundo real". Mostramos que mesmo que (ao contrário do que acreditamos) essa consideração nos justificasse a rejeitar a possibilidade de um passado sem começo, faria o mesmo para um futuro sem fim.

Finalmente, na Seção VII, nos voltamos para uma tentativa inteiramente diferente de formular um quebrador de simetria – um que toma como premissa a afirmação de que não pode haver uma infinidade real de coisas atualmente existentes (como um Hotel de Hilbert). Assumiremos (para fins de argumentação) que isso é assim, e continuaremos a considerar se, como Andrew Loke argumentou (Loke 2014), isso tem a implicação de que uma série sem começo de eventos passados ​​é impossível. Se tivesse, então teríamos um argumento contra a possibilidade de um passado sem começo que não poderia ser paralelo a um argumento igualmente plausível contra a possibilidade de um futuro sem fim. Para aqueles que pensam que um Hotel de Hilbert é impossível, esta é uma linha de argumentação bastante atraente, mas mostramos que ela contém uma falha sutil, mas fatal.

II. INFINITO POTENCIAL VS INFINITO REAL

Podemos ver a afirmação de Craig de que o futuro infinito é meramente potencialmente infinito em seu artigo de 2010 ‘Taking Tense Seriously’, quando em resposta a um experimento mental de Morriston (2010) ele escreve:

"Então, com relação à ilustração de Morriston de dois anjos que começam a louvar a Deus para sempre, um teórico-A concordará de todo o coração com sua declaração, ‘Se você perguntar, ‘Quantos louvores distintos serão ditos?’ a única resposta sensata é, infinitamente muitos’ — isto é, potencialmente infinitamente muitos. Se essa resposta for permitida ao teórico-A, então os argumentos supostamente paralelos de Morriston entram em colapso." (Craig 2010: 452–453)

Assim, Craig está dizendo que o futuro infinito é potencialmente infinito, e não realmente infinito, o que significa que a premissa 2 do segundo argumento é falsa. Se for assim, então Craig teria seu ‘quebrador de simetria’.

No entanto, argumentamos que Craig não está certo sobre isso. Na teoria dinâmica do tempo, algo é potencialmente infinito, mas esse algo não é o futuro infinito. Para explicar esse ponto, precisamos explicar o contexto. Primeiro, precisamos esclarecer o que Craig quer dizer quando afirma que haverá "potencialmente infinitamente muitos" eventos futuros em um futuro infinito. Então mostraremos como essa noção claramente não aborda a questão de quantos eventos futuros haverá. Quando nos concentramos na questão em mãos, fica claro que a resposta é, na verdade, atualmente infinito.

Mas vamos esclarecer o que os termos significam. Se observarmos a maneira como Craig caracteriza o termo "potencialmente infinito", podemos ver que ele envolve as noções de aumentar, não ter limite e ser sempre finito.³ Por exemplo, em seu livro sobre o Kalam, Craig diz o seguinte sobre um infinito potencial:

"Tal coleção seria aquela em que os membros não são definidos em número, mas podem ser aumentados sem limite" (Craig 1979: 68–69, ênfase adicionada).

Uma maneira natural de sacar essa noção de aumento é em termos de funções; o futuro potencial não é um conjunto como tal, porque os conjuntos têm associação fixa. Craig claramente quer algo mais dinâmico. Para capturar essa ideia dinâmica de "aumento ao longo do tempo", usamos uma função cuja saída aumenta conforme a entrada aumenta. E parece ser assim que Craig também vê, porque em seu artigo "Levando o Tempo a Sério", ele descreve a potencialidade do futuro também em termos do valor de uma função se aproximando de um limite; ele diz que se uma série de eventos é potencialmente infinita, então ela é "composta de um número finito, mas sempre crescente de eventos com o infinito como limite" (Craig 2010: 452, ênfase adicionada).

Aqui está a maneira mais natural de entender a ideia de Craig. Pegue os números naturais em sua ordem usual: (0, 1, 2, 3...), e deixe-os representar intervalos de tempo sucessivos distintos. Seja A(x) uma função que recebe números como entrada (como valores da variável x) e retorna a seguinte classe de números como saída: {y | y ≤ x}. A saída é tudo menor ou igual à entrada. Assim, A(2) = {0, 1, 2} e A(5) = {0, 1, 2, 3, 4, 5}, etc.

Duas coisas simples seguem imediatamente sobre essa função. Primeiro, se aumentarmos x, então a cardinalidade de A(x) aumenta de forma semelhante. A cardinalidade de {0, 1, 2, 3, 4, 5} é maior do que a de {0, 1, 2}, etc.

Segundo, vamos chamar a saída de A(x) de 'realmente infinita' se seus elementos puderem ser colocados em uma correspondência um-para-um com os elementos de um de seus subconjuntos próprios (ou seja, se tiver a propriedade Cantoriana); chame sua saída de ‘finita’ se ela não for realmente infinita (ou seja, se ela não tiver a propriedade Cantoriana). Segue-se facilmente que:

Fato 1) Para todos os valores de x, a cardinalidade de A(x) é finita

Qualquer número natural que colocamos em A(x), a classe resultante que obtemos sempre terá apenas um número finito de membros. Portanto, isso se encaixa com os comentários de Craig de que ‘o número [potencialmente infinito] de louvores ditos pelos anjos sempre será finito’.

O valor de x pode ser qualquer número arbitrariamente alto. Não há valor mais alto que ele possa assumir. E isso significa que a cardinalidade da classe de números retornada por A(x) para diferentes valores de x também não tem valor mais alto. Assim, também se encaixa no comentário de Craig de que os membros de um infinito potencial ‘podem ser aumentados sem limite’.

Como vimos, Craig às vezes descreve o infinito potencial como ‘sem limite’, e às vezes ‘com o infinito como limite’. Essas não são afirmações incompatíveis, pois tomamos o primeiro como implicitamente ‘sem limite finito’. Para aqueles que preferem essa maneira de falar (como Craig parece — veja, por exemplo, Craig 2010: 455, n4.), podemos expressar a maneira como a saída de A(x) tem o infinito como limite da seguinte forma:

Tudo isso diz que, à medida que o valor de x se aproxima do infinito, a cardinalidade de A(x) também se aproxima. Isso parece capturar a noção de Craig de que ela aumenta "com o infinito como limite". Dado que a função A(x) se encaixa tão bem com os comentários que Craig faz sobre o potencial infinito (crescente, sem limite e sempre finito), parece razoável supor que esse é o conceito que ele tem em mente.

Mas agora, considere uma função diferente. Seja B(x) uma função que recebe números naturais como entrada e tem a seguinte classe como saída: {y | x < y}. A saída é tudo maior que a entrada. Portanto, B(2) = {3, 4, 5 ...} e B(5) = {6, 7, 8 ...}, etc.

Algumas coisas simples seguem imediatamente sobre essa função. Primeiro, dado que não há maior número natural, à medida que o valor de x aumenta, a cardinalidade de B(x) não aumenta. A cardinalidade de {3, 4, 5 ...} é a mesma de {6, 7, 8 ...}.

Também segue facilmente que:

Fato 2) Para cada valor de entrada de B(x), sua saída é na verdade atualmente (realmente) infinita

Qualquer número natural que colocamos em B(x), a classe resultante que obtemos sempre terá na verdade infinitos membros; isto é, um conjunto que pode ser colocado em uma correspondência um-para-um com os números naturais.

Quando Craig tenta responder à pergunta "Quantos elogios distintos serão ditos?" ( ou, equivalentemente: "quantos eventos futuros haverá se o futuro for infinito?"), sua resposta é: "potencialmente infinitamente muitos". Nossa alegação é que ele enfrenta um dilema: ou o que ele diz responde à pergunta certa, mas é falso, ou é verdadeiro, mas responde a uma pergunta diferente. De qualquer forma, não é satisfatório.

No primeiro chifre do dilema, a resposta fornecida por Craig parece obviamente falsa. O número de eventos que ocorrerão não é "um número finito, mas sempre crescente". Por exemplo, não é como se hoje houvesse, digamos, dez eventos futuros de posse presidencial, mas que amanhã haverá onze. Não importa quantos futuros presidentes serão empossados, esse número só pode diminuir, à medida que cada novo for empossado. Certamente não pode aumentar com o passar do tempo. Dado esse truísmo, a resposta de Craig é simplesmente falsa.

No entanto, sabemos o que Craig quer expressar aqui. O problema é que, quando você explica, descemos o segundo chifre do dilema, e a resposta não aborda a questão original. Na teoria dinâmica do tempo, não é o futuro que é um "número cada vez maior de eventos"; mas sim o passado que está sempre aumentando. Tomemos, por exemplo, a ideia aristotélica de que as potencialidades se tornam atualizadas com o passar do tempo; uma ideia que tem muito em comum com a teoria do tempo do "bloco crescente". De acordo com essa ideia, conforme o tempo passa, mais e mais eventos são adicionados ao bloco de eventos reais, que "cresce". Eventos que são atualmente futuros (e potenciais) terão sido adicionados ao estoque de eventos que ocorreram. E é isso, parece-nos, que a saída da função A(x) está nos dando. Se x é a hora atual, então A(x) é quantos eventos ocorreram.

Mas agora a resposta não está abordando a questão. Como vimos acima, a questão que Craig se fez foi: Quantos louvores distintos serão ditos? A questão está pedindo a cardinalidade dos eventos que serão. Mas quando Craig responde "potencialmente infinitamente muitos", ele está dizendo que "com o passar do tempo, o número de eventos que terão sido atualizados aumenta sem limite". Então mudamos o tempo, de tempo futuro simples para o futuro perfeito; a resposta de Craig é sobre o que terá sido, em vez de o que será. Essa mudança de tempo representa uma mudança de assunto; sua resposta seria relevante apenas se a questão fosse "quantos eventos terão sido?", mas quando esclarecemos que a questão é "quantos eventos haverá?", sua resposta claramente não é relevante.

Craig parece estar lidando com esse problema na passagem a seguir.

"... alguém pode ser tentado a dizer que em um futuro infinito haverá um número realmente infinito de eventos, assim como em um passado realmente infinito houve um número realmente infinito de eventos. Mas em certo sentido, essa afirmação é falsa; pois nunca haverá um número realmente infinito de eventos, uma vez que é impossível contar até o infinito. O único sentido em que haverá um número infinito de eventos é que a série de eventos irá em direção ao infinito como um limite. Mas esse é o conceito de um infinito potencial, não um infinito real. Aqui a objetividade do devir temporal se faz sentir. Pois como resultado da flecha do tempo, a série de eventos posteriores a qualquer evento passado arbitrariamente selecionado deve ser adequadamente considerada um limite. A situação, significativamente, não é simétrica: como vimos, a série de eventos anteriores a qualquer evento futuro arbitrariamente selecionado não pode ser adequadamente considerada potencialmente infinita" (Craig & Sinclair 2009: 116, ênfase nossa).

Novamente, tomado literalmente, não está claro por que "a série de eventos posteriores a qualquer evento passado arbitrariamente selecionado deve ser adequadamente considerada um limite"; por que deveríamos pensar nisso em termos da função A(x)? Afinal, "a série de eventos posteriores a qualquer evento passado arbitrariamente selecionado" não aumenta em número com o passar do tempo (não importa quantas inaugurações haverá depois de algum evento passado, esse número não pode aumentar com o passar do tempo, etc.).

Em vez de pensar nisso em termos da função A(x), é muito mais natural pensar nisso em termos da função B(x). Afinal, "a série de eventos posteriores a qualquer evento passado arbitrariamente selecionado" é estruturalmente análoga à série de números maiores que um número dado, que é o que a função B(x) fornece como sua saída. E, como vimos com o fato 2, se o futuro é infinito, a cardinalidade da saída de B(x) é sempre realmente infinita, não potencialmente infinita.

Uma maneira de ler Craig aqui que evita esse problema é lê-lo como se dissesse que o número de eventos entre algum evento passado fixo e o agora em movimento é finito, mas sempre aumentando em direção ao infinito como um limite. Se isso estiver certo, então ele quer que imaginemos a situação desta forma:

Sua afirmação é que o intervalo entre o evento passado e o presente é sempre finito, mas aumenta com a passagem do tempo. Isso é facilmente expressável como uma função de dois lugares nos números naturais, C (x, y), que retorna o intervalo entre x e y. Se mantivermos x fixo e aumentarmos y, então o valor de C (x, y) tem todas as qualidades que tornaram a função A(x) potencialmente infinita (ele aumenta como y, não tem limite finito, é sempre finito, etc.). Então temos que ler Craig como se referindo ao intervalo cada vez maior entre algum ponto fixo no passado e a localização do agora em movimento para que ele assuma as propriedades do infinito potencial.

Então, embora Craig tenha dito que "a série de eventos posteriores a qualquer evento passado arbitrariamente selecionado deve ser adequadamente considerada um limite", temos que interpretá-lo como "a série de eventos no intervalo entre um evento passado arbitrariamente selecionado e o presente deve ser adequadamente considerada um limite". É certo que essa nova frase seleciona um intervalo que é potencialmente infinito, mas o problema é que ela não aborda a questão de quantos eventos futuros haverá. Ela aborda a lacuna entre um evento passado e o presente, que é apenas uma maneira complicada de expressar o tempo futuro perfeito novamente; é sobre quantos eventos futuros terão ocorrido. Assim, a reconstrução só consegue identificar algo potencialmente infinito ao custo de não descrever mais o futuro.

Assim, as respostas de Craig são ambíguas aqui. Fazemos uma pergunta simples sobre a cardinalidade da extensão da função B(x): quantos eventos futuros haverá? Sua resposta pode ser interpretada de duas maneiras. Sua resposta é falsa se tomada em termos da função B(x). Ele diz:

"... a série de eventos irá em direção ao infinito como um limite. Mas esse é o conceito de um infinito potencial, não um infinito real."

Mas a extensão da função B(x) não está "aumentando" de forma alguma, mesmo que haja um movimento agora. Não é um limite e não é um infinito potencial.

Se, por outro lado, entendermos que ele está falando em termos da função A(x), então sua resposta é verdadeira, mas irrelevante para a questão; o valor da lacuna pode estar aumentando — isto é, o número de eventos que terão ocorrido após algum tempo passado pode estar aumentando — mas isso simplesmente não é uma resposta para a questão de "quantos eventos haverá?". É apenas responder a uma questão diferente.

Assim, o quebrador de simetria parece que pode ter sucesso apenas porque muda de assunto. Se nos atermos à questão em mãos, a resposta é óbvia: se o tempo não tem fim, há um número realmente infinito de eventos, cada um dos quais ocorrerá.

III. E SE OS EVENTOS FUTUROS NÃO EXISTISSEM? O APELO DE CRAIG AO PRESENTISMO

Às vezes, no entanto, Craig dá o que parece ser uma resposta inequívoca à nossa pergunta sobre o número de eventos, cada um dos quais ocorrerá. Ele diz que não há eventos desse tipo. De acordo com sua versão da teoria A, os eventos não estão "lá" no futuro, esperando para se tornarem presentes; eles vêm à existência no presente e então deixam de existir. Segue-se que "as únicas entidades temporais que existem são entidades presentes" (Craig 2001: 148). Ele resume a implicação dessa visão para o número de eventos futuros da seguinte forma.

"... no presentismo não há eventos futuros e, portanto, nenhuma série de eventos futuros. Portanto, o número de eventos futuros é simplesmente zero, não 50" (Craig & Sinclair 2009: 116).

Com isso, Craig não quer dizer, é claro, que não haverá mais eventos. De fato, a definição de presentismo é expandida por Craig da seguinte forma:

"Assim, não há realmente eventos passados ​​ou futuros, exceto no sentido de que houve certos eventos e haverá certos outros" (Craig 2001: 148, ênfase adicionada).

Mas essa qualificação é tudo o que precisamos para defender nossa tese sobre a infinidade real de um futuro infinito. Lembre-se de nossa insistência de que o ponto a ser abordado diz respeito à função B(x), que é o conjunto de eventos futuros. Mesmo que eventos futuros não existam (por causa do presentismo), eles existirão (porque este não é o fim dos tempos). Assim, parece-nos que mesmo se alguém conceder a premissa de Craig, de que apenas o presente existe, isso não impede que seja verdade que cada um de uma infinidade real de eventos existirá.

Então, Craig talvez pense que há algo errado em se referir a (e numerar) eventos que não existem? De forma alguma. Ele acha que não há necessidade das manobras semânticas complicadas feitas por outros presentistas. Contanto que não tomemos nossos quantificadores ou termos singulares como "dispositivos de comprometimento ontológico", ele diz que podemos nos referir, quantificar e fazer afirmações verdadeiras sobre objetos e eventos que não existem (Craig 2016:118). Consequentemente, pode-se sensatamente se referir a eventos passados, e sua inexistência "não é um obstáculo para que sejam enumerados" (Craig & Sinclair 2009: 116).

Não podemos aqui entrar em um debate sobre os méritos do presentismo, mas achamos que isso pode ser dito com segurança. Qualquer teoria do tempo que mereça consideração séria deve abrir espaço para a possibilidade de enumerar coisas que não estão mais (ou ainda não estão) presentes. Vamos supor, pelo menos para fins de argumentação, que a teoria de Craig passe neste teste. Então ele está certo em insistir que uma série sem começo de eventos passados ​​seria infinitamente contável. A má notícia para ele é que o mesmo deve ser dito de uma série infinita de eventos futuros. Se, apesar de sua inexistência, alguém pode enumerar eventos passados ​​porque referência e quantificação de primeira ordem não são ontologicamente comprometedoras, então temos o mesmo direito de enumerar coisas e eventos que ainda não existem, mas existirão. Uma vez que isso seja garantido, é óbvio (i) que o número de eventos futuros não pode ser zero (a menos que estejamos no fim dos tempos!) e (ii) que o número de eventos em uma série infinita de eventos é idêntico ao número de eventos em uma série sem começo de eventos. Simplesmente não há nenhuma diferença relevante entre os dois casos.

Craig parece estar lidando com essa questão na seguinte passagem

"Pode-se dizer que pelo menos houve eventos passados, e então eles podem ser numerados. Mas, da mesma forma, haverá eventos futuros, então por que eles não podem ser numerados? Consequentemente, alguém pode ser tentado a dizer que em um futuro infinito haverá um número realmente infinito de eventos, assim como em um passado sem começo houve um número realmente infinito de eventos." (Craig 2011: 116, ênfase adicionada)

Neste ponto, o leitor naturalmente espera que Craig produza alguma razão para pensar que eventos futuros (inexistentes) não podem ser numerados, embora eventos passados ​​ (igualmente inexistentes) possam ser; mas ele não faz nada do tipo. (De fato, como ele poderia?) Em vez disso, ele apenas volta ao ponto frequentemente repetido de que "nunca haverá [terá havido?] um número realmente infinito de eventos, pois é impossível contar até o infinito" (Craig 2011, 116).

Aqui, novamente, Craig falha em distinguir entre a função A(x) e a função B(x). Quando ele diz que "nunca haverá um número realmente infinito de eventos", ele deve querer dizer que nunca terá havido um infinito real. Esta é uma afirmação sobre o valor da função A(x); ela diz que para nenhuma entrada de A(x) a saída é infinita. Isso é verdade, mas irrelevante. A questão diz respeito ao número de eventos, cada um dos quais acontecerá, não ao número de eventos que terão acontecido com o passar do tempo. Ou seja, a questão diz respeito ao valor da função B(x), e a saída dessa função certamente não é zero! Ao contrário, para qualquer entrada de B(x), a saída é infinito enumerável.

IV. EVENTOS FUTUROS COMO “POTENCIALIDADES PURAS”

Craig também tenta, às vezes, estabelecer uma assimetria relevante entre passado e futuro contrastando a "potencialidade" do primeiro com a "atualidade" do último. "Eventos futuros", ele diz, "ainda não foram atualizados, enquanto eventos passados ​​e presentes foram atualizados" (Craig 2011: 306). Ao contrário de eventos passados, portanto, eventos futuros são "potencialidades puras" e "não fazem parte do mundo real" (Craig 2010: 445–446).

Entendido dessa forma, o relato de Craig tem considerável semelhança com a teoria do bloco crescente do tempo. O passado pode não "existir", mas é, no entanto, um bloco continuamente crescente de potencialidades atualizadas. O futuro, por outro lado, consiste em potencialidades que ainda não foram atualizadas. Dessa forma, Craig aparentemente pensa que forneceu um disjuntor de simetria que é relevante para o nosso problema. Ou seja, ele pensa que a distinção entre a atualidade do passado e a potencialidade do futuro é a coisa em virtude da qual um passado sem começo é um verdadeiro infinito atual e um futuro sem fim é meramente um infinito potencial.

Observe, no entanto, que essa suposta assimetria entre passado e futuro é completamente irrelevante para o número de eventos passados ​​e futuros. Potencialidades que serão atualizadas são, em princípio, não menos numeráveis ​​do que aquelas que foram. Para ver isso, vamos considerar dois cenários simples de contagem apresentando um ser imaginário chamado ‘Contador’.

Suponha primeiro que:

“Contador começará sua contagem daqui a um minuto; um minuto depois disso, ele adicionará um à sua contagem; dois minutos depois, ele adicionará um à sua contagem; e depois disso, ele nunca mais fará nenhuma contagem.”

Podemos, se quisermos, pensar nisso como uma série de potenciais ‘eventos de contagem’. Podemos então perguntar quantos eventos de contagem distintos serão – alguma vez – atualizados. Isto é, podemos pedir o número de potenciais eventos de contagem, cada um dos quais será atualizado por Contador em algum momento ou outro. Seria absurdo dizer que a resposta é qualquer coisa diferente de três.

Considere a seguir um cenário de ‘contagem infinita’:

“Contador começará a contar um minuto a partir de agora; um minuto depois disso e após cada outro ato futuro de contagem, ele adicionará um à sua contagem.”

Novamente, podemos pensar nisso como uma série de ‘potencialidades puras’, cada uma das quais será atualizada. E novamente, podemos pedir o número de potenciais ‘eventos de contagem’ que serão – em algum momento ou outro – atualizados. É facilmente provado por indução matemática que para cada inteiro positivo n, Contador atualizará um n-ésimo ato potencial de contagem. Aqui, então, temos uma infinidade de potencialidades que (observe bem!) não deve ser confundida com uma infinidade potencial.

V. MAS É UM INFINITO REAL?

Neste ponto, alguns podem ser tentados a objetar que uma infinidade de potencialidades ainda não atualizadas não pode ser um verdadeiro infinito atual. Um infinito atual, eles podem dizer, deve ser composto de itens que pertencem ao que Craig chama de "mundo atual" - composto, isto é, de itens que são (ou foram) atualizados. Então, mesmo se for concedido que uma série infinita de potencialidades a serem atualizadas é denumeravelmente infinita, ainda pode parecer que temos algo como o resultado assimétrico que até agora nos escapou, a saber, que uma série sem começo de eventos passados ​​seria um verdadeiro infinito atual (porque é composta de infinitamente muitos elementos, cada um dos quais foi atualizado), enquanto uma série infinita de eventos futuros não seria (porque nenhum de seus elementos ainda foi atualizado).

Isso não vai funcionar. Em primeiro lugar, essa manobra é totalmente uma petição de princípio. Ele diz, com efeito, que uma série infinita de eventos futuros não pode ser um infinito real porque eles não são (ainda) presentes ou passados. Poderíamos — com pelo menos igual legitimidade — resolver as questões da maneira oposta estipulando uma definição de um "infinito real" na qual ele é composto de itens que são ou foram ou serão reais. De fato, achamos que poderíamos fazer isso com maior legitimidade. Lembre-se de que estamos considerando uma série de eventos futuros, cada um dos quais estará presente. Seu domínio sobre a realidade é, portanto, forte o suficiente para qualquer "condição de realidade" razoável que possa ser proposta para os elementos de um infinito real.

Em segundo lugar, e mais importante, achamos que importa muito pouco para o nosso argumento como alguém decide usar o termo "infinito real". O que importa é que, com relação às implicações supostamente absurdas do infinito real, uma série de eventos sem começo, cada um dos quais ocorreu, e uma série infinita de eventos, cada um dos quais ocorrerá, estão no mesmo barco.

Já mostramos que ambos têm a propriedade de Cantor — a de ter partes próprias, cujo número de elementos é igual ao do todo. E vimos que isso é verdade mesmo dada uma teoria dinâmica do tempo. Conforme o tempo passa, mais e mais eventos de contagem potenciais são "atualizados". Eles são, por assim dizer, "subtraídos" da série de potencialidades ainda a serem atualizadas e adicionados à série daquelas que foram atualizadas. E, no entanto, o número de eventos passados ​​não é maior do que era, e o número de eventos futuros não é menor. Ambos ainda são infinitamente denumeráveis.

Se não quisermos deixar pedra sobre pedra, no entanto, também devemos considerar uma preocupação com operações aritméticas inversas em números transfinitos que figuram com destaque na literatura. Isso exigirá tratamento separado.

VI. ‘INFINITO MENOS INFINITO’

Imagine uma coleção de itens numerados, um para cada número natural, todos existindo no presente. Se todos os itens numerados quatro ou mais fossem removidos, apenas três permaneceriam. Se todos os itens numerados ímpares fossem removidos, infinitamente muitos permaneceriam. E ainda assim, o mesmo número de itens teria sido "subtraído" em ambos os casos. Craig acha que isso é um grande problema. De fato, ele afirma que operações aritméticas inversas são proibidas na aritmética transfinita porque elas "levam a contradições" (Craig & Sinclair 2009: 111). Mas "no mundo real", ele continua, não podemos proibir a remoção de itens de uma coleção; e disso ele infere que "no mundo real" (em oposição ao "mundo" da cogitação matemática) coleções infinitas são impossíveis.

Não achamos que qualquer "impossibilidade do mundo real" tenha sido demonstrada. O que foi mostrado é meramente que no caso de uma coleção infinita, o restante (após "retirar" alguns de seus membros) depende, não apenas do número de itens "retirados", mas de quais são "retirados". Uma vez identificados, é uma questão perfeitamente direta encontrar um restante único e nenhuma contradição surge.

Mas nossa preocupação aqui está em uma direção diferente. Suponha (para fins de argumentação) que haja algum problema genuíno sobre quantos itens permanecem quando infinitamente muitos foram "removidos" ou "retirados" de uma coleção infinita de objetos. Duas outras questões devem ser abordadas: o que, se houver alguma coisa, isso nos diz sobre a possibilidade de uma série de eventos sem começo? e nos diz a mesma coisa sobre uma série sem fim?

Com relação à primeira questão, alguém poderia pensar que o argumento de Craig simplesmente não se aplica a uma série de eventos passados. Uma vez que algo aconteceu, será para sempre o caso de que aconteceu. Segue-se que nada é "removido" ou "subtraído" do passado. Então, mesmo que o passado fosse infinito, não poderia haver um par de situações do "mundo real" tais que: (a) em ambas as situações, infinitamente muitos itens foram "subtraídos" do passado, (b) em um caso, finitamente muitos itens são "restantes", e (c) no outro caso, infinitamente muitos são "restantes".

Craig não se comove com essa objeção. Ele insiste que:

"... ainda podemos comparar, por exemplo, o número de eventos ímpares com o número total de eventos, ou o número de eventos anteriores a hoje com o número de eventos anteriores a qualquer ponto no passado, e mentalmente adicionar e subtrair tais eventos para obter os mesmos absurdos" (Craig 1999: 64, ênfase adicionada).

Seguindo uma sugestão de J. P. Moreland (2003), podemos explicar a ideia de Craig da seguinte maneira. O passado poderia ter sido diferente; então, pode-se "subtrair mentalmente" eventos passados ​​imaginando possibilidades contrafactuais nas quais eles nunca ocorreram. Se fizermos isso para todos, exceto (digamos) os últimos três desses eventos, teremos subtraído mentalmente infinitamente muitos e teremos um "resto" de três. Se, por outro lado, subtrairmos mentalmente (digamos) todos os ímpares, teremos novamente subtraído mentalmente infinitamente muitos, mas desta vez com um "resto" infinito contável (os pares).

Justo. Mas agora é perfeitamente óbvio que um experimento de pensamento paralelo produz precisamente o mesmo resultado para uma série infinita de eventos futuros. Podemos "subtrair mentalmente" eventos do futuro — da série de potencialidades que serão atualizadas — imaginando possibilidades contrafactuais nas quais eles não ocorrerão. Se "subtrairmos mentalmente" todos, exceto os três primeiros itens em uma série infinita, teremos subtraído infinitamente muitos com um "resto" de três. Mas também podemos ‘subtrair mentalmente’ cada um deles (todos os ímpares, digamos), em cujo caso teremos subtraído novamente infinitamente muitos, desta vez com um ‘resto’ que é contavelmente infinito.

Mais uma vez, portanto, o paralelo entre passado e futuro se mantém. Então, se (ao contrário de nós) você acha que o argumento ‘infinito menos infinito’ de Craig mostra que uma série sem começo é impossível, então você deve dizer o mesmo de uma série sem fim.

VII. E SE UMA INFINIDADE REAL DE COISAS NÃO PUDESSE EXISTIR NO PRESENTE?

Neste ponto, alguns proponentes do argumento Kalam podem admitir que uma série infinita de eventos é possível e um verdadeiro infinito real. Não é o infinito real per se, eles podem dizer, que gera as implicações supostamente absurdas de (digamos) um hotel infinito, mas sim uma infinidade real de coisas existindo ao mesmo tempo. Mesmo assim, pode-se argumentar que um passado sem começo é impossível, porque (ao contrário de um futuro infinito) ele poderia ter dado origem a uma coleção infinita de objetos existindo juntos no presente, e porque qualquer coisa que implique a possibilidade de uma impossibilidade deve ser impossível.

Um benefício aparente dessa abordagem, para um defensor do argumento Kalam, é que ela parece entregar um claro quebrador de simetria, ao mesmo tempo em que evita completamente as questões discutidas acima relacionadas à ontologia de eventos passados ​​e futuros. Não há necessidade de alegar que eventos futuros não existem, ou negar que eles são uma infinidade contável. Não é nem mesmo necessário endossar uma teoria A do tempo. Se o argumento for sólido, ele funciona tão bem na teoria B.

Há duas questões distintas aqui: (i) é o caso de uma coleção infinita de objetos existindo juntos no presente ser impossível? e (ii) a possibilidade de um passado infinito implica a possibilidade de tal coleção? O exemplo mais frequentemente discutido em conexão com (i) é o de um hotel infinito – conhecido na literatura como um Hotel de Hilbert (doravante, um HH). Vamos supor (para fins de argumentação) que um HH seja tão impossível quanto algumas pessoas dizem e que isso garanta uma resposta afirmativa à pergunta (i). Isso nos deixa com a pergunta (ii). A possibilidade de um passado sem começo traz consigo a possibilidade de (digamos) um HH?

Um argumento para dizer que sim foi apresentado por Andrew Loke.⁴ Ele escreve:

"Suponha que é assim que o Hotel de Hilbert é construído: existe um 'construtor de quartos de hotel' que vem construindo quartos de hotel em intervalos de tempo regulares desde que o tempo existe. Suponha que também exista um 'gerador de clientes' que vem gerando clientes que fazem check-in no hotel em intervalos de tempo regulares desde que o tempo existe. Suponha que os quartos de hotel e os clientes continuam existindo depois de terem sido construídos e gerados, respectivamente. Agora, se o mundo real é aquele em que o universo é eterno no passado, então haveria um número infinito real de intervalos de tempo e um número infinito real de quartos de hotel e clientes ocupando os quartos. Em outras palavras, se o mundo real fosse aquele em que o universo é eterno no passado, então haveria um mundo em que um número infinito real de coisas foi atualizado" (Loke 2014, p.49).

A ideia central de Loke é que se o tempo não tivesse começo, então uma coleção infinita de itens coexistentes poderia ter sido gerada por meio de um processo sem começo, passo a passo. Então, vamos nos concentrar nessa afirmação. Ao fazer isso, será conveniente simplificar um pouco o exemplo. Vamos nos concentrar apenas na criação de um hotel infinito. (Para facilitar a exposição, podemos colocar os hóspedes de lado.) Deixe o "construtor" ser Deus; e imagine que, em intervalos regulares ao longo de todo o tempo passado, Deus cria novos quartos de hotel ex nihilo, e garante sua persistência. Se o tempo não tem começo, então uma infinidade real de quartos de hotel deve existir no presente. Assim, a infinidade do passado parece implicar que poderia ter havido uma infinidade de itens coexistentes.⁵

Mas o mesmo não pode ser dito do futuro, pode-se pensar. Afinal, se Deus começa a fazer quartos de hotel agora, e continua a fazê-lo pelo resto do tempo, e mesmo que o futuro não tenha fim, só haverá um hotel finito em existência em qualquer momento específico. Assim, o futuro infinito não tem as mesmas implicações que o passado infinito; especificamente, o passado infinito implica que um HH é possível, enquanto o futuro infinito não implica isso. Se pudermos assumir que um HH é metafisicamente impossível no presente, seríamos capazes de concluir que o passado infinito é metafisicamente impossível de uma forma que não se aplicaria também ao futuro infinito, e teríamos distinguido entre passado e futuro de uma forma que é amigável ao argumento Kalam.

Podemos declarar o argumento de Loke desta forma:

1. Se o tempo não tivesse começo, então um HH seria metafisicamente possível.

2. Um HH é metafisicamente impossível.

3. Portanto, o tempo tem um começo.⁶

Muitos serão tentados por argumentos como este. No entanto, ele também tem uma falha sutil, que explicaremos. A chave para entender isso é a relação entre a impossibilidade de HHs (que estamos assumindo para fins de argumentação) e a onipotência de Deus.

Se um Deus onipotente tivesse poder completamente irrestrito, então ele teria a habilidade de fazer um HH aparecer de uma só vez. De fato, supondo que o construtor de quartos de hotel de Loke fosse obrigado a fazer quartos de hotel em intervalos regulares pelo resto de um futuro sem fim, então (como Yishai Cohen observa) Deus poderia simplesmente decretar "que cada quarto de hotel que será construído em algum momento posterior venha a existir agora", e assim instantaneamente trazer um número infinito real de quartos de hotel à existência (Cohen 2019: 293). A conclusão de Cohen é que a existência de um ser onipotente como este bloqueia o cenário de Loke de fornecer um disjuntor(quebrador) de simetria relevante. Um teísta que acredita em tal ser não pode, portanto, apelar ao argumento de Loke para fornecer o disjuntor(quebrador) de simetria necessário.

Há uma maneira natural para um defensor do Kalam responder a isso, que é insistir que onipotência não significa que Deus pode fazer literalmente qualquer coisa. Quase todos concordam que Deus não pode fazer o que é logicamente impossível, por exemplo. Assim, a questão não é se a onipotência de Deus tem alguma restrição, mas quais restrições ela tem. Uma sugestão plausível é que Deus tem a capacidade de fazer qualquer coisa metafisicamente possível, mas nada metafisicamente impossível. E se seguirmos esse caminho, então temos uma resposta a Cohen em mãos: Deus não pode simplesmente estalar os dedos e trazer à existência um HH agora, porque a existência de um HH é metafisicamente impossível. Tal restrição implicaria que se Deus dissesse "que cada quarto de hotel que será construído em algum momento posterior venha a existir agora", e se houver um número infinito de quartos de hotel tal que cada um será co

,nstruído em algum momento no futuro, então o decreto de Deus simplesmente falharia em ter qualquer efeito. Estaria além das habilidades de Deus fazer tal coisa acontecer. Não seria mais eficaz do que se ele dissesse "que haja um triângulo com quatro lados". Assim, a objeção de Cohen só funciona pressupondo uma forma irrealista e extrema da onipotência de Deus; quando a onipotência é restringida da maneira correta, a objeção é neutralizada.

No entanto, o defensor do Kalam que faz esse movimento não está livre de problemas. Alguém que responde a Cohen dessa maneira tem compromissos muito específicos que podemos destacar por referência a uma distinção de escopo capturada nas duas fórmulas a seguir:

A) ∀n♦ (Deus fez n quartos de hotel)

B) ♦∀n (Deus fez n quartos de hotel)

A fórmula A diz que para cada número natural n, é possível que Deus tenha feito um hotel com n quartos no total. A fórmula B diz que é possível que Deus tenha feito um hotel tão grande que haja um quarto de hotel para cada número natural n.

Dado que o oponente de Cohen está comprometido tanto com a impossibilidade metafísica de HHs quanto com a onipotência restrita de Deus, segue-se que eles consideram a fórmula A verdadeira e a fórmula B falsa. Eles dirão que Deus poderia fazer um hotel de uma só vez, de modo que os quartos do hotel fossem numerados de 1 a n, para qualquer n (fórmula A), mas ele não poderia fazer um hotel de uma só vez, onde cada número natural correspondesse a um quarto único (fórmula B). Podemos colocar isso em um slogan como este: cada um é possível, mas não todos.

Nossa objeção é a seguinte. Mesmo que haja um número infinito de eventos passados, de modo que em cada um deles Deus poderia ter feito um quarto de hotel persistente, desde que sua onipotência seja restrita, não se segue que um HH seja metafisicamente possível. Um construtor de quartos de hotel com onipotência restrita tem a capacidade de gastar qualquer número finito desses tempos passados ​​criando quartos de hotel (fórmula A), mas não de dedicar cada um de um número infinito de tempos passados ​​para criar quartos de hotel (fórmula B). Isto é, um construtor com onipotência restrita poderia fazer com que a totalidade dos eventos passados ​​de criação de cômodos fosse numerada de 1 a n, para qualquer n, mas não que houvesse um evento passado único de criação de cômodos para cada n. Insistir que o construtor tem a capacidade de fazer o último é precisamente insistir em violar a restrição à onipotência à qual o defensor do argumento Kalam apelou para responder a Cohen.

Muitos podem ver esses casos como relevantemente diferentes, no entanto, de tal forma que a restrição não se aplica aos dois casos da mesma forma. A diferença relevante à qual eles podem apelar seria a instantaneidade do cenário de Cohen, em comparação com a natureza diacrônica do cenário de Loke. Em correspondência privada, Loke expressou uma versão desse pensamento da seguinte forma:

"Deus não pode construir um HH de uma só vez porque a impossibilidade metafísica de um HH agiria como uma restrição para impedi-lo de fazer isso. No entanto, Deus pode construir um cômodo de cada vez? Claro que Ele pode. Não há nada que possa impedir Deus de construir uma sala persistente em t-1, e nada pode impedir Deus de construir uma sala persistente em t-2,... Etc.”

E:

"... os dois exemplos [criar um HH instantaneamente e ao longo do tempo] não são equivalentes de forma crucial: um envolve 'de uma só vez', enquanto o outro envolve um processo. Isso faz diferença porque para impedir alguém de fazer algo, a prevenção tem que acontecer antes ou no instante da ação. No entanto, depois que a pessoa agiu, ela não pode ser impedida de agir porque o que foi feito já foi feito. O que isso implica é que condições posteriores não podem impedir que eventos anteriores aconteçam."⁷

No caso de criar um HH de uma só vez, se Deus dissesse 'que haja um HH', ele descobriria que seu decreto não teria efeito algum. Mas, em contraste, se Deus estivesse criando quartos de hotel um de cada vez, e em cada ocasião dizendo 'que haja um único quarto de hotel adicional', etc., então a cada vez ele descobriria que sua declaração é eficaz. Isso estabelece uma diferença entre os dois casos. Um é um único passo infinito (que a restrição de onipotência proíbe), e o segundo é um número infinito de passos finitos (cada um dos quais a restrição de onipotência permite).

Nossa objeção era que (dada a impossibilidade de um HH) ele não pode dar todos os pequenos passos individuais. Mas, intuitivamente, não há nada que possa impedi-lo de dar qualquer passo adicional. Talvez pudéssemos dizer que em algum momento no passado Deus deve ter parado de fazer quartos de hotel. Mas por que pensar isso? Não podemos simplesmente dizer que a impossibilidade de um HH em t0 garante que ele pare de fazer quartos de hotel em qualquer momento anterior; como Loke diz, "condições posteriores não podem impedir que eventos anteriores aconteçam". Aqui está o dilema: se ele nunca parou, parece que haveria um HH agora; mas qualquer insistência em haver um ponto de parada no passado parece inaceitavelmente ad hoc, e a pura impossibilidade de um HH em t0 não pode influenciar ações anteriores. Esta parece ser a objeção de Loke.

Temos duas respostas para essa objeção. Primeiro, há uma analogia novamente com o caso Cohen, que é apenas uma espacialização do caso temporal. Imagine uma rua infinitamente longa, ‘Infinite Avenue’, com endereços ‘1 Infinite Ave’, ‘2 Infinite Ave’, etc. Deus tem a capacidade de decretar com sucesso, por exemplo, "que haja um hotel na 'n Avenida Infinita", para qualquer n. Assim, os dois casos parecem diretamente análogos:

• Não há endereço na Avenida Infinita que, se Deus decretasse que um hotel deveria existir lá, esse decreto não teria sucesso. No entanto, ele não pode fazer um hotel em todos os endereços da avenida.

• Não há tempo no passado infinito em que, se Deus tivesse decretado que um quarto de hotel deveria começar a existir naquele momento, esse decreto não teria sucesso. No entanto, ele não pode ter feito um quarto de hotel em todos os momentos do passado infinito.

Se algo é ad hoc, parece-nos que é a insistência de que a restrição é aceitável no caso espacial, mas não no temporal. Eles parecem inteiramente análogos para nós. Gostaríamos de ver um quebrador de simetria para isso, antes de podermos aceitar que o argumento em si é um quebrador de simetria entre o passado sem começo e o futuro sem fim.

No entanto, pode parecer que estamos perdendo o ponto de Loke, que era sobre "prevenção"; como um estágio futuro pode influenciar um passado? Para aqueles que têm esse pensamento, oferecemos nossa segunda objeção. O que "impede" Deus de adicionar quartos de hotel um de cada vez e chegar a um HH é que essa já é uma situação metafisicamente impossível. A sugestão de Loke, que pintou o quadro como se exigisse alguma influência assustadora de condições posteriores para eventos anteriores, é na verdade um espantalho. Se em t−1 Deus cria um único quarto, e depois em t0 há um HH, segue-se que já havia um HH em t−1. Afinal, a adição de um quarto de hotel (ou qualquer número finito de quartos de hotel) nunca pode ser suficiente para transformar um hotel finito em um infinito. Não se pode, por assim dizer, atravessar um infinito real em etapas finitas. Então, se há um HH presente agora, então em todos os momentos anteriores, sempre que Deus estava adicionando quartos de hotel, ele os estava adicionando a um HH. Mas adicionar um quarto a um HH é metafisicamente impossível, só porque a existência de um HH é metafisicamente impossível! Geralmente, de ∼♦p, e ♦q, segue-se que ∼ ♦(p & q). Assim, a pressuposição equivocada na resposta de Loke aqui é que precisamos apelar para condições posteriores para descartar os eventos anteriores neste cenário; se houver um HH a qualquer momento, então cada evento anterior de construção de quarto está copresente com um HH. Pelo menos, é assim que é enquanto a onipotência de Deus for restrita. Se ele fosse capaz de fazer um HH de uma só vez, então ele poderia ter adicionado quartos de hotel a um hotel no passado que era finito, mas que é infinito agora. Mas, como vimos, essa opção foi descartada para superar a objeção de Cohen. No entanto, essa mesma restrição aqui coloca o defensor do Kalam de volta em apuros novamente.

Assim, pensamos que argumentos como os de Loke, que tentam moldar um quebrador de simetria apelando ao fato de que um passado sem começo implicaria a possibilidade de um HH no presente, também são equivocados. Para evitar a objeção de Cohen, uma restrição à onipotência de Deus parecia ser necessária. Mas essa mesma restrição torna o cenário pelo qual Deus faz um HH por adição sucessiva uma situação metafisicamente impossível — uma que viola em particular a noção de prevenção à qual Loke apela.

VIII. COMENTÁRIOS FINAIS

Estabelecemos duas coisas. Primeiro, que, no que diz respeito ao infinito real, uma série sem começo de eventos passados ​​e uma série infinita de eventos futuros estão no mesmo barco. Pensamos (e esperamos que a maioria dos amigos do argumento Kalam concorde) que uma série infinita de eventos, cada um dos quais ocorrerá, é pelo menos metafisicamente possível. Mas então uma infinidade real de eventos ocorrendo um após o outro é claramente possível, em cujo caso a possibilidade de uma série sem começo de eventos passados ​​não deve ser rejeitada meramente com base no fato de que seria um infinito real.

Segundo, mostramos que a possibilidade de um passado infinito não se sustenta ou cai com a possibilidade de uma infinidade real de coisas atualmente existentes. Então, mesmo que alguém pense que (digamos) um Hotel de Hilbert é impossível, não se segue que o passado deva ter um começo.

Existem, é claro, outros argumentos para a finitude do passado que não discutimos — mais notavelmente, talvez, aquele baseado na suposta impossibilidade de "atravessar o infinito". Teremos que deixá-los para outra ocasião.

Notas

1 Autores que sugeriram algo nesse sentido incluem: Oppy 2006, Morriston 2002 e 2010, Hedrick 2014 e Cohen 2019.

2 O termo "progresso" é um tanto artificial, mas pretende ser apenas o dual orientado para o futuro de "regresso".

3 O uso que Craig faz do termo "infinito potencial" não é definido formalmente em nenhum lugar, e tivemos que juntá-lo devido a várias observações que ele faz. O termo "infinito potencial" não tem uma definição matemática canônica (Hart 1976), em contraste com a compreensão cantoriana do infinito real. Para uma maneira alternativa de caracterizar a noção que é formalmente rigorosa, veja Linnebo & Shapiro (2019).

4 Um argumento semelhante pode ser encontrado em Benerdete (1964), p. 270, e Alexander Pruss (2009).

5 Alexander Pruss (2009) coloca o argumento de Loke desta forma: ‘Se pudesse haver uma sequência infinita de eventos ao contrário, poderia haver uma sequência infinita de eventos ao contrário durante cada um dos quais um quarto de hotel é criado, nenhum dos quais é destruído. Um número infinito de quartos de hotel seria então o resultado’.

6 Em correspondência pessoal, ele indicou que este é seu argumento.

7 Citado com permissão.

Referências bibliográficas

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