Contando para sempre

Autor: Alex Malpass

Tradução: Cezar Souza

Reportar erro de tradução

Introdução 

Aqui, quero apenas explicar um ponto simples que surge na discussão sobre se é possível "contar até o infinito" e o que isso nos diz sobre se o tempo teve um início. Wes Morriston merece crédito por me explicar isso de maneira adequada. Tudo o que estou fazendo é mostrar dois lugares onde seu ponto se enquadra.

Os alvos

Tenho em mente duas partes da literatura filosófica contemporânea. Um é encontrado no trabalho de Andrew Loke, especificamente em seu artigo de 2014, p. 74-75, e seu livro de 2017, p. 68. O outro é encontrado no livro de Jacobus Erasmus 2018, p. 114. Em cada caso, os autores estão argumentando que não é possível contar até o infinito, porque não importa o quão alto alguém conte, não importa para qual número um conte, sempre há mais números para contar. É assim que eles expressam esse ponto:

Em primeiro lugar, aqui está Loke em seu artigo:

“Se alguém (digamos, George) começar com 0 em t0 e contando 1, 2, 3, 4,… em t1, t2, t3, t4,… ele contaria um infinito real em qualquer ponto no tempo? ... A resposta à pergunta é 'Não', pois não importa quantos número George conte, ainda há mais elementos de um conjunto infinito real a serem contados: se George conta 100.000 em t100.000, ele ainda pode contar mais um (100.001); se ele contar 100.000.000 em t100.000.000, ele ainda poderá contar mais um (100.000.001). ” (Loke, 2014, p. 74-75)

Em segundo lugar, aqui está Loke em seu livro:

“Suponha que George comece a existir em t0, ele tem um filho em t1, que é a primeira geração de seus descendentes, um neto em t2, que é a segunda geração, um bisneto em t3, que é a terceira geração, e assim por diante. O número de gerações e durações pode aumentar com o tempo, mas nunca pode haver um número infinito real deles a qualquer momento, pois não importa quantos deles existam a qualquer momento, ainda pode haver mais: Se houver 1000 gerações em t1000, ainda pode haver mais (digamos 1001 em t1001); Se houver 100.000 gerações em t100.000, ainda pode haver mais (100.001 em t100.001), etc.” (Loke, 2017, p. 68)

Finalmente, aqui está Erasmus em seu livro:

“Considere, por exemplo, alguém tentando contar todos os números naturais um por segundo (ou seja, 1, 2, 3,...). A pessoa pode contar toda a coleção de números um número a cada segundo? Claro que não, pois não importa quantos números a pessoa tenha contado, sempre haverá um número infinito de números ainda a serem contados (ou seja, para qualquer número n que alguém conte, sempre haverá outro número n + 1 a ser contado). Portanto, é impossível atravessar uma sequência realmente infinita de eventos congruentes e, portanto, se o universo não viesse existir, o evento presente não poderia ocorrer.” (Erasmus, 2018, p. 114)

O que cada um está dizendo é que se alguém começar a contar agora, nunca vai terminar de contar. E isso é verdade, claro.

Pense na seguinte montanha: ela tem um acampamento base no sopé, mas é infinitamente alta e não tem ponto mais alto (para cada ponto da montanha há outro que é mais alto que esse ponto). Pode-se começar de baixo e subir até o topo dessa montanha? Não, porque não existe o topo dessa montanha.

(Minha disputa com Craig não era exatamente sobre esse ponto, mas sobre algo um pouco mais sutil. Era se o seguinte é falso:

A) É possível que George conte infinitamente muitos números.

Eu digo que A é verdade. Todas as considerações de Loke e Erasmus fazem com que você diga que o seguinte é falso:

B) É possível que George tenha contado um número infinito de números.

Mas podemos deixar este ponto aqui por enquanto.)

2. Meu ponto

Tudo o que quero destacar hoje é: o fato de que "sempre há mais números para contar" só se aplica a certos tipos de contagem infinita. Imagine os três cenários a seguir:

i) George está tentando contar os inteiros positivos, nesta ordem: (1, 2, 3, ...)

ii) George está tentando contar os inteiros negativos, nesta ordem: (..., -3, -2, -1)

iii) George está tentando contar todos os números inteiros negativos e positivos, nesta ordem: (..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...)

Podemos pensar nos cenários da seguinte forma:

• Cenário i) é como escalar uma montanha infinitamente alta que tem um fundo, mas não um topo;
• Cenário ii) é como escalar uma montanha infinitamente alta que não tem fundo, mas tem topo;
• Cenário iii) é como escalar uma montanha infinitamente alta sem fundo e sem topo.

Em cada caso, devido à natureza dos conjuntos infinitos, as tarefas envolvem contar a mesma quantidade de números. A intuição simples diz que o terceiro envolve contar mais números do que os dois primeiros (afinal, deve ser a soma dos dois primeiros). No entanto, na verdade, cada cenário envolve a contagem de conjuntos com a mesma cardinalidade (ou seja, ℵ0). Dito de outra forma, cada montanha tem a mesma altura que as outras duas.

O ponto-chave que quero fazer é este. É obviamente verdade que a observação de Loke-Erasmus (de que “sempre haverá um número infinito de números a serem contados”) só se aplica aos cenários i e iii. Simplesmente não se aplica ao cenário ii.

Quando George está começando em 0 e aumentando, ele sempre tem a mesma quantidade de números restantes para contar (sempre ℵ0-muitos). O mesmo é verdadeiro quando ele está no cenário iii, não importa onde George esteja ao longo de sua tarefa.

Mas se ele está no cenário ii, a situação é muito diferente. Não importa onde George esteja em sua tarefa neste cenário, ele só tem um número finito de números restantes para contar. Ele não tem infinitamente mais montanhas para escalar no cenário ii. Tem um topo, e não importa onde ele esteja, George está apenas finitamente longe dele. Claramente, ele pode chegar ao topo de uma dessas montanhas se já estiver escalando por um longo período.

E é aqui que o bicho pega. Se houver um problema com o cenário ii, não é que “sempre haverá um número infinito de números a serem contados”, porque isso é simplesmente falso. E o cenário ii é aquele que Loke e Erasmus têm em vista. Isso porque é aquele em que George "completa" uma tarefa infinita contando uma quantidade realmente infinita de números.

Simplificando, o argumento que eles estão apresentando é o seguinte:

1. George não pode contar até o infinito, porque sempre haveria mais números para ele contar.
2. Portanto, George não pode contar até o infinito.

Posto assim, o fato de que o argumento é inválido é evidente.

O problema, se houver, não é completar ou terminar uma tarefa infinita. Pode ser que o problema esteja relacionado ao início da tarefa. Mas se assim for, realmente não adianta falar de problemas que envolvem a impossibilidade de terminar, pois esse é um ponto diferente.

3. Conclusão

Pode haver outras razões para pensar que não se pode fazer um contagem regressiva do infinito, é claro. Na verdade, Loke e Erasmus têm mais a dizer sobre esse assunto. Mas o que costumamos encontrar em discussões como essa prosseguem da seguinte maneira: eles fazem uma observação que se aplica a uma série sem fim e tentam aplicá-la a uma série sem começo. Como é simples de ver, às vezes a observação inicial (como a de que sempre haverá mais números para contar) simplesmente não se aplica a ambos. E a mudança de um para o outro, portanto, não é válida.