Vários filósofos contemporâneos, como G. J. Whitrow, argumentam que é logicamente impossível que o passado seja infinito, e oferecem vários argumentos em apoio a esta tese. Acredito que seus argumentos não tenham sucesso e pretendo refutar seis deles nas seis seções do artigo. Uma das minhas principais críticas diz respeito à suposição de que uma série infinita de eventos passados deve conter alguns eventos separados do evento presente por um número infinito de eventos intermediários e, conseqüentemente, de um desses eventos passados infinitamente distantes o presente nunca poderia ter sido alcançado . Apresento várias considerações para mostrar que uma série infinita de eventos passados não precisa conter nenhum evento separado do evento presente por um número infinito de eventos intermediários.
Recentemente, tem havido uma tendência crescente de argumentar que o passado é necessariamente finito. Os escritores que argumentam isso, G. J. Whitrow, W. L. Craig, P. M. Huby, D. A. Conway e outros, reconhecem a correção formal da teoria dos conjuntos contemporânea derivada dos escritos de Cantor, mas negam que tal teoria seja aplicável ao passado. Acredito que seus argumentos se baseiam em vários erros, que exponho a seguir.
I
Em “Tempo e o Universo”, Whitrow (1966) argumenta que a série de eventos passados, se infinito, deve ser um infinito real, e não potencial, e que um infinito real de eventos decorridos é uma impossibilidade. Ele começa definindo as frases “infinito real” e “infinito potencial” em termos de eventos futuros (p. 567). O futuro é potencialmente infinito em que (para qualquer evento no futuro de E ocorrerão eventos futuros, e (2) qualquer evento no futuro de E é separado de E por um número finito de eventos intermediários. Condição (1) afirma que o futuro é infinito e a condição (2) de que esse infinito é meramente potencial. Um infinito real seria obtido se houvesse eventos separados de E por um número infinito de eventos intermediários.
Whitrow então argumenta que um passado infinito é um infinito real e, conseqüentemente, é impossível:
Se todos os eventos em uma cadeia temporal que culmina no presente são infinitos em número, então, como esses eventos realmente ocorreram, o infinito em questão deve ser um infinito real, não meramente potencial.
Conseqüentemente, se a cadeia de eventos que forma o passado de E é finita, deve ter ocorrido eventos separados de E por um número infinito de eventos intermediários. Pois, se não, então qualquer evento no passado de E seria separado de E por apenas um número finito de eventos intermediários. Isso significaria que o conjunto de eventos passados, como o conjunto de eventos futuros, constituiria apenas um infinito potencial, ao passo que deve constituir um infinito real. Segue-se, portanto, que, se o passado de E contém um número infinito de eventos em uma cadeia temporal que culmina em E, deve ter ocorrido eventos 0 no passado de E que estão separados de E por uma infinidade de eventos intermediários. Mas isso entra em conflito com nossa condição de que um futuro infinito com respeito a qualquer evento, neste caso O, é um infinito potencial, pois E é um evento que ocorre e O já ocorreu. Mesmo que, neste contexto, estejamos preparados para renunciar à Lei da Contradição, ainda nos defrontamos com o mesmo problema insolúvel que surgiu anteriormente em nossa discussão: quando, na cadeia temporal de O a E, o número total de eventos que ocorreram desde que O se tornou infinito ?. . . Concluímos que a ideia de uma infinidade de eventos decorridos apresenta um problema insolúvel para a mente. (1966, pp. 567-568)
Este argumento é baseado em uma falácia de equívoco com respeito às frases "infinito real" e "infinito potencial". A prova de Whitrow de que o passado se infinito é "realmente infinito" é baseada em um sentido diferente de "realmente infinito" daquele pertencente à sua prova de que um "passado realmente infinito" é impossível. A primeira prova utiliza “realmente infinito” para significar uma infinidade de eventos que realmente ocorreram. Whitrow escreve: “porque esses eventos realmente ocorreram, o infinito em questão deve ser um infinito real, não apenas um potencial”. Nesse sentido de “realidade”, a realidade se opõe à “potencialidade” no sentido de poder ocorrer, mas ainda não tendo ocorrido. No entanto, em sua prova de que um passado realmente infinito é impossível, Whitrow usa “realmente infinito” no sentido de uma série de eventos, alguns dos quais são separados de E por um número infinito de eventos intermediários. Uma vez que este equívoco é reconhecido, o argumento de Whitrow perde qualquer senso de plausibilidade que poderia ter. Pois se o passado é um "infinito real" no sentido de ser uma infinidade de eventos que realmente ocorreram, não se segue que também é um "infinito real" no sentido de que alguns eventos passados são separados do evento presente por um número infinito de eventos intermediários. É bem possível que haja um número infinito de eventos que realmente ocorreram, de modo que cada um desses eventos seja separado do evento presente por um número finito de eventos intermediários.
Para deixar isso claro, pode-se observar que se os eventos passados são infinitamente numerosos, então eles formam um conjunto que é aberto em uma extremidade e fechado na outra (sendo o evento presente o fechamento). Eles corresponderiam ao conjunto de números negativos:
Este conjunto tem o número cardinal aleph-zero e o tipo de ordem de regressão, w * Observe que não importa qual número um obtenha neste conjunto, haverá um número finito de números intermediários entre ele e 0. Suponha que tomemos o número -128, então há -127 números entre ele e 0. Suponha que tomemos um trilhão de vezes -128, ainda há algum número finito entre ele e zero, e assim por diante para qualquer outro número neste conjunto. E ainda não há um número finito, mas um número infinito de números negativos neste conjunto; antes de cada número negativo, há outro número negativo.
Consequentemente, podemos conceber eventos passados como formando um conjunto infinito de eventos que "realmente ocorreram" sem ser apresentado com o "problema insolúvel" a que Whitrow se refere, a saber, que se alguns eventos passados são separados por um número infinito de eventos do evento presente, quando na cadeia de eventos passados os eventos começaram a ser separados do evento presente por um número infinito em vez de finito de eventos intermediários?
II
Além do equívoco de Whitrow sobre "infinito real" e "infinito potencial", há outra falácia mais profunda subjacente a seu argumento, uma falácia também cometida por P. M. Huby [1] e W. L. Craig. [2] O erro em questão aparece no argumento comumente declarado de que
(1) Eventos Aleph-zero ocorreram antes que o evento presente envolvesse
(2) Eventos separados do evento presente por eventos aleph-zero ocorreram
que por sua vez envolve
(3) De um dos eventos separados do evento presente por eventos aleph zero, o evento presente não poderia ter sido alcançado. [3]
A falácia reside na crença de que (1) implica (2). Isso não; para aleph zero eventos poderiam ter ocorrido antes do presente evento de forma que nenhum desses eventos é separado do presente evento por aleph-zero eventos. É esse estado de coisas que discuti na última seção em relação ao conjunto de números negativos com o tipo de pedido w *. O número desses números negativos é aleph-zero, mas nenhum desses números negativos é separado de zero por um número aleph-zero de números.
Pode-se pensar que a implicação de (2) por (1), aceita como autoevidente pelos autores acima, poderia ser provada pelo seguinte argumento (sugerido a mim por William Vallicella). O conjunto de números negativos com tipo de pedido w *, pelo qual o passado é representado, pode ser mapeado no conjunto com tipo de pedido w * + w *:
Este conjunto possui os mesmos membros que o conjunto dos números negativos em sua ordem natural e, conseqüentemente, pelo axioma da extensionalidade, é idêntico a este conjunto. Agora, o conjunto com o tipo de pedido w * + w * contém membros separados de outros membros por um número infinito de membros intermediários; por exemplo, -4 é separado de -3 por membros aleph-zero. Segue-se que o conjunto com tipo de pedido w * também contém alguns membros infinitamente distantes de outros membros. Por exemplo, o número no conjunto com tipo de pedido w * que corresponde (no mapeamento um-para-um dos dois conjuntos) a -4 no conjunto com tipo de pedido w * + w * está infinitamente distante do número no conjunto com tipo de pedido w * que corresponde a -3 no conjunto com tipo de pedido w * + w *.
Acredito que esse argumento pode ser contestado em duas áreas. Em primeiro lugar, assume que a questão de saber se alguns membros em um conjunto estão infinitamente distantes de outros é logicamente independente do tipo de ordem do conjunto. Mais especificamente, ele assume que se dois conjuntos têm a mesma cardinalidade, aleph-zero, e são idênticos um ao outro, então, independentemente das diferenças em seu tipo de pedido, se um dos conjuntos tiver membros infinitamente removidos, o outro também deve. No entanto, pode ser provado que se alguns membros de algum conjunto S1 são infinitamente removidos um do outro é determinado pela posição ordenada dos membros em S1 e que as propriedades ordinais desses membros são logicamente independentes das propriedades ordinais de qualquer conjunto S2 ao qual S1 corresponde ou com o qual é idêntico. Tome, por exemplo, o conjunto w * + w *; o número -4 é infinitamente removido de -3.
No entanto, se eu reordenar esse conjunto, de modo que ele possua o tipo de ordem w *, então -4 não será mais infinitamente removido de -3, mas será imediatamente adjacente a ele. Isso mostra que a propriedade de ser infinita ou finitamente removido de outro membro do conjunto é uma propriedade ordinal de -4.
Em seguida, observe que se algum conjunto infinito S1 for mapeado no conjunto S2, a propriedade ordinal de um membro x1 de S1 é logicamente independente da propriedade ordinal do membro y1 de S2 ao qual x1 corresponde. Isso pode ser comprovado por várias instâncias; assim, o conjunto N de números inteiros positivos pode ser mapeado no conjunto R de números racionais; neste caso, o número 1 no conjunto N tem a propriedade ordinal de ser o primeiro membro de N. No entanto, o membro no conjunto R ao qual 1 corresponde não tem a propriedade ordinal de ser o primeiro membro de R, para o conjunto R por definição não tem primeiro membro.
Além disso, cada número no conjunto N, exceto o primeiro membro, tem a propriedade ordinal de ser o sucessor imediato de algum outro membro de N; entretanto, nenhum dos números em R aos quais os números em N correspondem tem tal propriedade ordinal; pois um número racional, por definição, não tem sucessor imediato.
As considerações acima mostram que as propriedades ordinais de -4 no conjunto com o tipo de ordem w * + w * são logicamente independentes das propriedades ordinais dos membros do conjunto com tipo de ordem w * ao qual -4 corresponde. Consequentemente, o fato de -4 ter a propriedade ordinal de ser infinitamente removido de algum outro membro do conjunto com tipo de ordem w * + w * não implica que o membro do conjunto com tipo de ordem w * ao qual -4 corresponde tenha a propriedade ordinal de ser infinitamente removida de alguns membros do conjunto com tipo de pedido w *.
III
Outra tese comum a vários do “anti-infinitistas” contemporâneos é a crença de que um infinito real ou completo não pode ser instanciado no passado, uma vez que o conjunto de eventos passados nunca é concluído, mas está sempre sendo adicionado. David Conway (1974) expressa suas dificuldades sobre isso:
A noção de uma série infinita completa [de eventos passados], ou seja, uma série infinita cujos membros já foram dados, uma série que agora é infinita, infinita sem a adição potencial de outros membros, é de fato uma noção estranha. (1974, pp. 206-207)
Este argumento é desenvolvido ao máximo por William Lane Craig (1979), que afirma que “seria impossível adicionar a um infinito real realmente existente, mas a série de eventos passados está sendo aumentada diariamente” (p. 97). Craig apresenta seu argumento em termos de um exemplo de uma coleção infinita de objetos materiais, como livros da biblioteca. Suponha que haja uma biblioteca com uma coleção realmente infinita de livros em suas estantes.
Suponha ainda que cada livro da biblioteca tenha um número impresso em sua lombada, de modo a criar uma correspondência de um para um com os números naturais. Como a coleção é realmente infinita, isso significa que todos os números naturais possíveis estão impressos em algum livro. Portanto, seria impossível adicionar outro livro a esta biblioteca. Qual seria o número do novo livro? Claramente, não há nenhum número disponível para atribuir a ele. Todo número possível já tem uma contrapartida na realidade, pois corresponder a todo número natural é um livro já existente. Portanto, não haveria número para o novo livro. (Craig 1979, p. 83)
Craig não explica como esse argumento se aplicaria a eventos passados, mas está implicitamente claro o que ele tem em mente. Se a coleção de eventos passados é realmente infinita e tem o número cardinal aleph-zero e o tipo de ordem w *, então correspondendo a cada número negativo há um evento passado. Uma vez que cada número negativo possível é atribuído a algum evento passado nesta coleção, é impossível adicionar um novo evento passado a ele. Pois qual poderia ser o número negativo desse evento? Não pode ter um número negativo, pois todos os números negativos foram esgotados. Mas, na verdade, a coleção “de eventos passados está sendo aumentada diariamente”, novos eventos passados estão sendo adicionados à coleção; portanto, segue-se que a coleção de eventos passados não pode ter um número infinito. Deve ter algum número finito.
Vamos dividir as considerações acima em dois argumentos separados, um sendo que uma coleção realmente infinita não pode ser adicionada, o outro sendo que se todos os números negativos possíveis foram atribuídos a eventos anteriores, nenhum novo evento pode ser adicionado a esta coleção. Que o primeiro argumento é falacioso é aparente se pegarmos qualquer coleção infinita de itens existentes, digamos, de livros, e combiná-los um a um com todos os números inteiros positivos maiores ou iguais a 10. Tal coleção é de fato um “ infinito real realmente existente ”, pois os livros realmente existem e há um número realmente infinito de números na série 10, 11, 12,. . ., que corresponde à coleção de livros. Agora adicione 9 livros à coleção, combinando-os com os primeiros 9 inteiros; o que ocorreu é que um infinito real realmente existente foi adicionado.
Em relação a eventos passados, combine aqueles que ocorreram em algum momento t1 com todos os números negativos maiores ou iguais a -10; esta é uma coleção realmente infinita de eventos passados. Em seguida, combine os eventos que passaram recentemente de t2 a t11 com os números negativos menores que -10; o resultado é que uma coleção realmente infinita de eventos anteriores foi adicionada de t2 a t11.
O segundo argumento é aquele em que Craig confia mais fortemente: se todos os números negativos possíveis foram combinados com eventos anteriores, nenhum novo evento passado pode ser atribuído a esta coleção. No entanto, novas atribuições podem ser feitas se com a chegada de cada novo evento no passado, cada número negativo é reatribuído ao ser correspondido com o evento imediatamente anterior ao evento ao qual foi atribuído; de forma que, -3 é reatribuído ao evento ao qual -2 foi anteriormente atribuído, e -2 ao evento ao qual -1 foi atribuído, e assim por diante para todos os números negativos maiores que -3. Isso deixa -1 livre para ser comparado com o evento que acabou de acontecer.
À objeção de que isso deixa algum evento passado anterior sem um número negativo atribuído a ele, há a seguinte resposta: Chamemos o tempo antes de alguma instância da reatribuição descrita acima t1, e o tempo da reatribuição t2. Em t2, há um evento passado pertencente à coleção de eventos anteriores que não pertenciam a essa coleção em t1. No entanto, em t2 não há um número maior de eventos pertencentes a esta coleção do que em t1, pois a adição de um evento em t2 à coleção infinita que existia em t1 resulta em uma coleção com o mesmo número de membros que a coleção que existia em t1, sendo este número aleph-zero. Isso é verdade porque aleph-zero mais 1 é igual a aleph-zero. Consequentemente, uma vez que existem eventos passados aleph-zero em ambos os momentos, e uma vez que existem números negativos aleph-zero, não há evento passado em qualquer momento que não seja correspondido com um número negativo.
A coleção de eventos passados em r é um subconjunto adequado da coleção de eventos passados em 12. Craig sente que a equivalência entre um conjunto infinito e um subconjunto adequado desse conjunto aplicado a coisas e eventos reais "simplesmente não é crível" ( p. 86). É apenas inacreditável, entretanto, se alguém pressupõe erroneamente que a definição de um conjunto infinito de coisas ou eventos reais é a mesma que a definição de um conjunto finito de coisas ou eventos reais; a saber, que um conjunto necessariamente tem mais coisas ou eventos pertencentes a ele do que qualquer subconjunto próprio dele. Se não fizermos essa falsa pressuposição, a equivalência em questão é perfeitamente crível.
IV
Craig e Whitrow, entre outros, acreditam que o “paradoxo Tristram Shandy” é suficiente para demonstrar a impossibilidade de um passado infinito. Este paradoxo, discutido anteriormente por Russell em referência ao futuro (1938, # 340, pp. 358-359), é baseado no romance de Sterne, no qual um personagem chamado Tristram Shandy está escrevendo sua autobiografia tão lentamente que leva um ano para registrar os eventos de um único dia. Craig aplica essa história ao passado e, apoiando-se em parte em um argumento desenvolvido por David Conway (pp. 201-208), ele pretende descobrir uma contradição na ideia de que o passado é realmente infinito:
. . . suponha que Tristram Shandy tenha escrito desde a eternidade passada à razão de um dia por ano. Ele agora estaria escrevendo sua página final? Aqui discernimos a falência do princípio da correspondência no mundo do real. Pois, de acordo com esse princípio, a conclusão de Russell estaria correta: uma correspondência um a um entre dias e anos poderia ser estabelecida de modo que, dado um número infinito real de anos, o livro seria concluído. Mas tal conclusão é claramente ridícula, pois Tristram Shandy ainda não poderia ter escrito os eventos de hoje. Na verdade, ele nunca poderia terminar, pois cada dia de escrita gera mais um ano de trabalho. Mas se o princípio da correspondência descrevesse o mundo real, ele deveria ter terminado - o que é impossível.
. . .Mas agora um absurdo mais profundo surge à vista. Pois se a série de eventos passados é um infinito real, então podemos perguntar: por que Tristram Shandy não terminou sua autobiografia ontem ou na véspera, visto que então uma série infinita de eventos já havia ocorrido? Não importa o quão longe ao longo da série de eventos passados alguém regrida, Tristram Shandy já teria completado sua autobiografia. Portanto, em nenhum ponto da série infinita de eventos passados ele poderia terminar o livro. Nunca poderíamos olhar por cima do ombro de Tristram Shandy para ver se ele estava escrevendo a última página. Pois em qualquer ponto uma seqüência infinita real de eventos teria ocorrido e o livro já teria sido concluído. Assim, em nenhum momento da eternidade encontraremos Tristram Shandy escrevendo, o que é um absurdo, pois supúnhamos que ele estivesse escrevendo desde a eternidade. E em nenhum momento ele vai terminar o livro, o que é igualmente absurdo, porque para o livro ser concluído ele deve em algum momento ter terminado. O que a história de Tristram Shandy realmente nos diz é que uma regressão temporal realmente infinita é absurda. (Craig 1979, pp. 98-99).
Não está claro à primeira vista por que Craig acredita que a história de Tristram Shandy resultou nesse “absurdo”, então é melhor reconstruir a lógica dessa história e tentar localizar onde o “absurdo” supostamente surge.
(1) Tristram Shandy tem escrito sua autobiografia em todos os momentos no passado e leva um ano para escrever cerca de um dia.
Isso implica (2) que a distância temporal entre qualquer dia anterior e a hora posterior em que é registrado aumenta com a passagem do tempo.
E isso, por sua vez, implica (3) que não existe um dia posterior finitamente distante de qualquer dia anterior em que todos os dias anteriores foram escritos.
Agora, (4) o dia presente está finitamente distante de qualquer dia anterior.
Portanto, (5) nos dias atuais, todos os dias anteriores não terão sido escritos. A autobiografia de Tristram Shandy não terá sido concluída.
No entanto, (6) o número de dias escritos sobre é o mesmo que o número de anos decorridos antes do presente (aleph-zero), pois em cada ano Tristram Shandy escreveu cerca de um dia.
Neste ponto, podemos ver que Craig está tacitamente apelando para essa suposta contradição: Se em relação a qualquer dia presente há um número infinito de dias anteriores e um número infinito de dias anteriores escritos, então em relação a qualquer presente não há dias passados não escritos sobre - o que contradiz (5).
No entanto, é falso que a proposição "o número de dias anteriores escritos sobre é igual ao número de dias anteriores" acarreta "não há dias anteriores não escritos sobre". Pois, o número de dias anteriores sobre o qual se escreveu é um subconjunto adequado do conjunto infinito de dias anteriores, e um subconjunto adequado de um conjunto infinito pode ser numericamente equivalente ao conjunto, mesmo que haja membros do conjunto que não são membros do subconjunto próprio. Assim como o conjunto infinito de números naturais tem o mesmo número de membros que seu próprio subconjunto de números pares, ainda tem membros que não são membros desse subconjunto apropriado (esses membros sendo os números ímpares); portanto, o conjunto infinito de dias anteriores tem o mesmo número de membros que seu subconjunto apropriado de dias sobre o qual foi escrito, mas tem membros que não são membros desse subconjunto apropriado (sendo esses membros os dias sobre os quais não foi escrito).
Em conclusão, o fato de que o número de dias anteriores sobre os quais se escreveu corresponde ao número de dias anteriores não implica que, em cada ponto do passado, Tristram Shandy tenha concluído sua autobiografia. Em vez disso, em nenhum momento no passado, e em nenhum presente, a autobiografia de Tristram Shandy estará completa. A história de Tristram Shandy é internamente consistente, assim como a ideia de um passado realmente infinito.
V
No capítulo 6 de Nosso Conhecimento do Mundo Externo, Russell escreve:
classes que são infinitas são dadas todas de uma vez pela propriedade definidora de seus membros, de modo que não há questão de "conclusão" ou de "síntese sucessiva". (Russell 1960, p. 123)
Alguns “anti-infinitistas” inferiram disso que o passado não pode ser infinito, uma vez que os eventos não são dados todos de uma vez, mas sucessivamente. Craig escreve que se o passado é infinito então
o tempo e os eventos nele são como um infinito real; toda a classe de eventos e momentos são dados simultaneamente, como diria Russell. . . . Mas, é claro, essa imagem é uma caricatura grosseira do tempo, pois os eventos no tempo, ao contrário dos eventos no espaço, existem em série. . . . A coleção de todos os eventos anteriores. . . é formada por adição sucessiva ou, para usar a frase de Kant, síntese sucessiva. (Craig 1979, p. 203, n. 25)
Esse argumento é baseado em uma confusão entre doação no pensamento e doação na realidade. A classe infinita de eventos é dada simultaneamente no pensamento, mas é dada sucessivamente na realidade. No pensamento de todos os eventos, todos os eventos são pensados "todos de uma vez", em vez de "um de cada vez". Mas isso não significa que todos os eventos existiram de uma vez; em vez disso, eles existiam um de cada vez.
A ideia por trás da passagem citada do trabalho de Russell é que as classes que são infinitas são dadas em pensamento de uma só vez pela propriedade definidora de seus membros, de modo que não há dúvida de conclusão ou de síntese sucessiva no pensamento. Esta definição da maneira de doação no pensamento de classes infinitas não implica nada sobre como essas classes são dadas na realidade. Considerando que cada classe infinita é dada simultaneamente em nosso pensamento, algumas das classes também são dadas simultaneamente na realidade (por exemplo, a classe de objetos materiais se for infinita), e outras são dadas sucessivamente na realidade (por exemplo, a classe de eventos no tempo se for infinito).
VI
Ao reconhecer que os eventos são dados sucessivamente na realidade, não estamos admitindo que, na realidade, eles nunca podem somar uma coleção infinita? Não é verdade que para que uma classe infinita seja dada, seja em pensamento ou realidade, ela deve ser dada de uma vez?
A resposta é que a coleção de eventos não pode somar uma coleção infinita em uma quantidade finita de tempo, mas eles somam em uma quantidade infinita de tempo. E uma vez que é coerente supor que em relação a qualquer presente uma quantidade infinita de tempo decorreu, também é coerente supor que em relação a qualquer presente uma coleção infinita de eventos passados já foi formada por adição sucessiva.
Isso é suficiente para refutar a tese de Kant de que uma série infinita "nunca pode ser completada por meio de síntese sucessiva" (Kant 1960, A426 / B454, p. 413); pois, embora tal série nunca possa ser completamente sintetizada em um tempo finito, ela pode ser completamente sintetizada em um tempo infinito.
Expliquei que essa síntese infinita deve ser entendida em termos da coleção de números negativos. Mas podem surgir dúvidas em relação à ideia de uma síntese sucessiva correspondente à coleção de números negativos. Parece, em primeiro lugar, que uma síntese sucessiva correspondente à coleção de números negativos deve ser um potencial no finito, não um infinito real; isso ocorre porque a coleção de números negativos em si não pode ser completamente sintetizada. David Conway conclui disso que a representação de eventos passados como correspondentes aos números negativos não mostra que os eventos passados formam um infinito real:
. . . não podemos entender a completude da série [de eventos passados na analogia com a série de números negativos, uma vez que ninguém imagina que um número infinito de números negativos é "dado", que, por exemplo, cada número já foi realmente escrito antes para 'chegando em' -1. Em vez disso, a última série é infinita no sentido de que há um número interminável de adições potenciais a ela. (Conway 1974, p. 207)
Craig afirma, de maneira semelhante, que “não podemos conceber que alguém anote todos os números negativos da eternidade passada de modo que termine em -1” (1979, p. 203, n. 25).
Além disso, existe o problema adicional de que os números negativos, ao serem contados, são contados ao contrário da ordem em que os eventos anteriores existiram. Este problema é trazido por Huby e Whitrow, o último escrevendo:
Uma seqüência potencialmente infinita de eventos futuros pode ser enumerada como 1, 2, 3,. . . e assim por diante indefinidamente. Da mesma forma, foi argumentado que uma sequência infinita de eventos passados pode ser associada à sequência de inteiros negativos terminando com - e que isso destrói a objeção de Kant à possibilidade de uma sequência infinita de eventos passados. No entanto, só podemos enumerar os eventos em tal sequência contando para trás, ou seja, começando com -1 em vez de terminar com ele. Esse é o reverso da maneira pela qual os eventos realmente ocorreriam e produz apenas uma sequência potencialmente infinita. (Whitrow 1980, p. 31)
Essas objeções podem ser tratadas separadamente. Certamente Conway está certo em acreditar que ninguém imagina que uma série infinita [4] de números negativos foi escrita. Mas ele está errado se acredita, com Craig, que ninguém pode conceber a possibilidade de esta série ser escrita. Pode ser que em um período finito de tempo essa série não possa ser escrita, [5] mas certamente é o caso que ela poderia ser escrita em um período infinito de tempo. É coerente supor que em relação a qualquer evento presente, uma série infinita de eventos passados já decorreu, e que cada número na série de números negativos foi escrito em um tempo correspondente a cada um desses eventos passados.
P. F. Strawson acredita que isso é impossível "porque pensamos em o processo de contagem como tendo que começar em algum momento ”(1966, p. 176). Mas essa crença, no sentido de que é verdadeira, é irrelevante e, no sentido de que é relevante, é falsa. Os processos de contagem empiricamente observáveis com os quais estamos familiarizados começam em algum momento, mas isso tem pouca influência sobre a questão de se todos os processos logicamente possíveis de contagem devem começar em algum momento. Se definirmos um processo logicamente possível de contagem como uma série sintética de atos de contagem, então faz sentido conceber cada evento passado para corresponder a um ato de contagem, de modo que cada evento anterior anterior seja correlacionado com um ato de contar um maior número negativo e cada evento passado posterior é correlacionado com um ato de contar um número negativo menor. Em relação a qualquer evento presente, o evento imediatamente anterior pode ser concebido como correlacionado a um ato de contagem do número -1, de modo que no momento desse evento imediatamente anterior a série de atos de contagem está sendo completada, e no momento do presente evento, a série de atos de contagem já foi concluída.
Essas reflexões permitem que a segunda objeção, de Whitrow, seja descartada. Pode ser verdade no sentido empírico que 'nós' só podemos enumerar a série de eventos passados contando regressivamente a partir de -1, e que tal enumeração produz apenas um infinito potencial. Mas o que podemos ou não podemos fazer, dadas nossas limitações empíricas, não é essencialmente relevante para a questão de saber se é logicamente possível enumerar a série de eventos passados de acordo com a série de números negativos. Pode ser o caso de que devamos começar em -1 e só possamos contar alguns caminhos para trás, mas um contador logicamente possível poderia estar contando a cada momento no passado na ordem em que os eventos anteriores ocorreram. E esse contador logicamente possível em relação a qualquer presente teria contado completamente os números negativos.
Concluo que esses argumentos não nos deram nenhuma razão para acreditar que um passado realmente infinito é logicamente impossível
Fonte:https://web.archive.org/web/20071014175411/http://qsmithwmu.com/infinity_and_the_past.htm
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